Ein Umweltingenieur modelliert die Konzentration \( C \) eines Schadstoffs in einem See als \( C(t) = C_0 e^{-kt} \), wobei \( C_0 = 100 \) mg/L, \( k = 0.05 \) Tag\(^{-1}\), und \( t \) in Tagen gemessen wird. Wie lange dauert es, bis die Konzentration unter 10 mg/L fällt?

["Wie lange dauert es, bis die Schadstoffkonzentration unter 10 mg/L fällt?\nAnhand des Modells eines Umweltingenieurs: ( C(t) = C_0 e^{-kt} )", "Die Konzentration eines Schadstoffs in einem See nimmt über die Zeit exponentiell ab – beschrieben durch die Formel:\n[ C(t) = C_0 e^{-kt} ]\nDabei ist\n- ( C_0 = 100 , \ ext{mg/L} ) die Anfangskonzentration,\n- ( k = 0{,}05 , \ ext{Tag}^{-1} ) die Zerfallskonstante,\n- ( t ) die Zeit in Tagen,\n- ( C(t) ) die Konzentration zum Zeitpunkt ( t ).", "Das Ziel ist es, die Zeit ( t ) zu berechnen, nach der die Konzentration ( C(t) ) unter 10 mg/L fällt. Wir stellen die Ungleichung auf:\n[ C(t) = 100 \cdot e^{-0{,}05t} < 10 ]", "Schritt 1: Teile beide Seiten durch 100:\n[ e^{-0{,}05t} < 0{,}1 ]", "Schritt 2: Nimm den natürlichen Logarithmus (ln) von beiden Seiten:\n[ \ln(e^{-0{,}05t}) < \ln(0{,}1) ]\n[ -0{,}05t < \ln(0{,}1) ]", "Da ( \ln(0{,}1) \approx -2{,}3026 ), ergibt sich:\n[ -0{,}05t < -2{,}3026 ]", "Schritt 3: Teile beide Seiten durch -0,05 – dabei wird die Ungleichung umgedreht:\n[ t > \frac{2{,}3026}{0{,}05} ]\n[ t > 46{,}052 ]", "Die Konzentration fällt also nach ungefähr 46,05 Tagen unter 10 mg/L.", "Für praktische Anwendungen im Umweltmanagement empfehlen sich runde Werte: Nach 47 Tagen ist der Grenzwert zweifellos unterschritten.", "Zusammenfassung: Dank exponentieller Modellbildung lässt sich präzise berechnen, wann Schadstoffkonzentrationen kritische Sicherheitsgrenzen überschreiten. Ein Umweltingenieur nutzt hierfür den Parameter ( k ), um zukunftsweisende Maßnahmen zum Gewässerschutz abzuleiten."]